Noções e Formalismo Matemático
Na física clássica, para cada área contamos com uma ou mais leis a partir das quais os problemas podem ser resolvidos[cite: 197]. [cite_start]Na mecânica clássica, utilizamos as leis de Newton; na termodinâmica, contamos com a equação de estado dos gases ideais[cite: 198]. [cite_start]Na eletrodinâmica, resolvemos os sistemas com as equações de Maxwell e a expressão para a força de Lorentz[cite: 199]. [cite_start]A Mecânica Quântica (MQ), para descrever um mundo inacessível aos nossos sentidos, precisou desenvolver suas próprias "regras do jogo" e sua própria linguagem[cite: 200].
O pilar descritivo da MQ é a equação de onda formulada por Erwin Schrödinger em 1926, utilizada para descrever o estado de partículas quânticas e prever sua evolução[cite: 203]. Em sua forma dependente do tempo, ela é expressa como:
Nesta equação, $i^{2}=-1$, $\hbar$ é a constante de Planck reduzida ($\hbar=h/2\pi$), $\partial/\partial t$ representa a derivada temporal, e $\nabla^{2}$ é o operador Laplaciano (a soma das derivadas parciais de segunda ordem nas coordenadas espaciais)[cite: 206]. [cite_start]A função $\Psi$ é o nosso descritor, a função de onda quântica, $m$ é a massa da partícula e $V$ é o potencial ao qual ela está submetida[cite: 207].
[cite_start]Quando o potencial $V$ não depende do tempo e a função admite separabilidade por produtos, podemos simplificar a resolução supondo que $\Psi(x,t)$ seja o produto de uma função apenas espacial e outra apenas temporal[cite: 216, 217]:
Substituindo isso na equação original, obtemos duas equações separadas por uma constante $C$, que possui dimensão de energia ($E$)[cite: 220, 223, 224]. [cite_start]A parcela dependente exclusivamente da posição é a famosa Equação de Schrödinger independente do tempo[cite: 225, 227]:
Resolvendo a parcela temporal, encontramos que a evolução no tempo é descrita por $\phi(t)=e^{-\frac{iEt}{\hbar}}$[cite: 231]. [cite_start]Recompondo ambas as partes, a solução completa é escrita como uma combinação linear de todos os estados possíveis (autoestados), acompanhados de suas constantes de normalização $c_n$[cite: 237, 238]:
A probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser de 100%, o que impõe a condição de normalização $\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^{2}dx=1$[cite: 248, 250]. [cite_start]Como a função de onda não é real, o termo $|\Psi|^{2}$ representa uma densidade de probabilidade[cite: 251, 252].
A função de onda quântica "habita" no espaço de configurações, um hiperespaço de 6 dimensões (três para posição e três para o momentum)[cite: 253]. No entanto, a linguagem natural da MQ é a álgebra linear. [cite_start]Por isso, Paul Dirac desenvolveu um formalismo extremamente elegante focado em vetores, conhecido como notação Bra-Ket[cite: 254, 255].
[cite_start]Neste formalismo, os estados do sistema são descritos por vetores chamados "kets", denotados por $|\psi\rangle$, que habitam o espaço de Hilbert (um espaço vetorial complexo dotado de produto escalar)[cite: 261, 262]. [cite_start]Os "bras", denotados por $\langle\psi|$, pertencem ao espaço dual e contêm os complexos conjugados[cite: 261]. O produto escalar $\langle bra|ket\rangle$ nos permite verificar a ortogonalidade dos estados.
[cite_start]Para simplificar os cálculos, construímos sistemas ortonormais (ortogonais e normalizados)[cite: 267, 268]. [cite_start]A relação entre os vetores de base é elegantemente resumida pelo delta de Kronecker ($\delta_{mn}$)[cite: 274]:
Onde $\delta_{mn}=1$ se $m=n$, e $\delta_{mn}=0$ se $m\ne n$[cite: 275, 276]. [cite_start]Ou seja, o produto de vetores paralelos é 1 e de ortogonais é nulo[cite: 282].
A combinação linear de estados descrita anteriormente forma o que chamamos de estado coerente[cite: 285]. [cite_start]Ao realizarmos uma medição, a MQ postula que ocorre o "colapso da função de onda", um processo instantâneo e irreversível que obriga o sistema a assumir um único resultado (um dos autoestados)[cite: 288]. [cite_start]Essa transição do mundo quântico (onde existem superposições) para o mundo clássico (onde há resultados definidos) é chamada de decoerência[cite: 287].
[cite_start]Na física clássica, a interação entre observador e sistema pode ser calculada e descontada[cite: 291]. [cite_start]Se usarmos um termômetro frio para medir a água quente, o termômetro rouba calor, alterando a temperatura final[cite: 295]. [cite_start]Porém, usando as leis da Termologia, podemos calcular a correção exata: $\theta_{0}=\theta_{a}^{\prime}+C_{a}C_{0}(\theta_{a}^{\prime}-\theta_{0})$[cite: 297]. Na Mecânica Quântica, essa correção é fundamentalmente impossível. [cite_start]A medição destrói a coerência inicial, e as medições subsequentes apenas confirmarão o estado já colapsado[cite: 291].
O Teorema de Ehrenfest estabelece a ponte formal entre os observáveis da MQ e as leis da Mecânica Clássica[cite: 312]. [cite_start]Na MQ, as grandezas clássicas (posição, momento, energia) são substituídas por Operadores, um procedimento conhecido como primeira quantização[cite: 311]. [cite_start]Devido ao caráter probabilístico, não calculamos trajetórias exatas, mas o "valor esperado" de uma grandeza[cite: 313].
[cite_start]"...não significa que se você medir a posição de uma partícula repetidas vezes $\int x|\Psi|^{2}dx$ será a média dos resultados que você obterá. Ao contrário: a primeira medida colapsará a função de onda... Em vez disso, $\langle x\rangle$ é a média das medições feitas em partículas que estão todas no mesmo estado $\Psi$." [cite: 318, 319, 320][cite_start]
Partindo das relações clássicas, como $p=mv$ e $\langle p\rangle=m\frac{d}{dt}\langle x\rangle$ [cite: 322, 324][cite_start], a MQ deriva o operador momento linear, que age extraindo a informação da função de onda através de diferenciação espacial[cite: 354]:
Seguindo essa lógica de operadores, a energia total do sistema é representada pelo operador Hamiltoniano ($\hat{H}$)[cite: 361]. [cite_start]A atuação desse operador sobre o vetor de estado nos retorna a energia do sistema [cite: 362][cite_start], permitindo reescrever a famosa Equação de Schrödinger independente do tempo na sua forma mais compacta e poderosa[cite: 367, 370]: